从基本不等式的几何证明谈起我们来看一道题目。［例题1］设a、b为正实数，用几何图形证明：基本不等式图片题目要求我们证明的是一个很重要的基本不等式

 

从基本不等式的几何证明谈起我们来看一道题目。［例题1］设a、b为正实数，用几何图形证明：

基本不等式图片题目要求我们证明的是一个很重要的基本不等式。对此，只须联想到半圆的弓形角是直角及弦高定理的图形性质，就不难完成解题了(图3).

图3上图的内涵很丰富，我们可以细细品味半圆所对的弦AB是⊙O的直径，O是圆心半径OD与圆周交于D点从D点作垂线CD⊥AB，垂足是C因为直径所对的圆周角都是直角，所以三角形ABD是直角三角形，CD是直角三角形斜边上的高。

图上A、B、C、D四个点可以构成三个直角三角形，而且这三个直角三角形彼此之间两两相似(同学们自己思考为什么两两相似？)图中AC=a，CB=b，半径OD=½(a+b)，CD=根号ab为什么CD=根号ab呢？这可以用相似三角形对应线段成比例来说明。

连接AD和BD，立刻得到三个彼此相似的直角三角形于是有AC:CD=CD:CB，⇒CD²=ab，(CD是比例中项)，所以CD=根号ab图3可以直观地看到，基本不等式的左边是半径，是直角三角形的斜边，基本不等式的右边是直角边，当然小于斜边。

那么，什么时候基本不等式取等号呢？只有旋转半径OD，使其和直径AB垂直时，此时垂足C和圆心O重合，a=b，基本不等式可以取等号基本不等式的意义是算术平均数大于等于几何平均数在直角三角形ABD中，三条高有怎样的数量关系呢？如果用h表示斜边上的高CD，那就可以用一个公式来表达三条高的关系：

a和b是直角边图片这个公式被称为弦高定理。举个例子，设直角三角形三边为a=6，b=8，c=10，那么有

图片如果只是想求出斜边上的高，有更简单的方法h=a×b÷c=4.8斜边被垂足分为两条线段，怎样求这两条线段呢？欧几里得早就给出了答案设直角边在斜边上的射影分别为a和b，则有a+b=c，欧几里得说，a²=ca，b²=cb，所以。

a=36÷10=3.6，b=64÷10=6.4在图3中，如何作图作出√a呢？比如，如何作出√5呢？

这很简单，只须让a=AC=5，b=BC=1，那么CD就是√5当然，这个作图不是尺规作图，因为古希腊人的直尺没有刻度另外，图3还可以告诉我们，正弦的含义和名称的来历如果令AB=1，那么图3告诉我们，sin 90°=1。

解释一下正弦函数的另外一个定义在直径为1的圆中，弦所对的圆周角的正弦等于弦长正弦的弦字就是指圆中的弦因为同一条弦所对的圆周角相等，所以这个定义没毛病直径是圆中最长的弦，所以设为1，因为正弦函数的最大值也就是1。

因为圆内接四边形的内对角互补，所以sin A=sin (180°-A)，因为这两个圆周角对的是同一条弦，当然等式成立根据正弦函数的这个定义，我们又多了一个计算正弦的方法，就是计算弦长举个例子，请看下图：。

图片我们来计算角C的正弦。角A和角C的正弦相等，余弦互为相反数。用多种方法可以算出BD=4，那么我们可以来计算三角形BCD的外接圆半径。令半径=R，由三角形面积公式可得：

图片算出R后，需要把弦BD的弦长4换算成单位圆的弦长x，换算过程就是解比例式。

图片计算出sin C以后，利用三角恒等式可以算出cos C，过程如图所示。

在下面的链接中，我们已经用余弦定理算出cos C=¼，详情请看下面的链接https://m.toutiao.com/is/rtrVyk6/ - 已知四边怎样求圆内接四边形对角线 - 今日头条通过多种方法的验证，证明了我们用正弦函数的定义计算正弦值(用弦长定义正弦)是可行的。

不过，在解题时，需要考虑哪种方法计算简便就采用哪种接下来，我们计算角C的角度∠C=arccos(¼)用科学计算器得到≈1.318116072这是弧度，需要换算成我们熟悉的角度换算公式是：弧度=角度×π÷180。

角度=弧度×180÷π换算结果如下：1.318116072×180÷π≈75.522487834≈75.5°讨论到此为止，本文完。科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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