上一篇我们探讨了概率与统计中一个重要的概念——随机过程。概率及随机过程的数学模型已经被广泛地应用到包括金融、气象、物理、信息及计算机等各门学科的

 

►花粉也会“喝醉”，图片来源：pixabay编者按：上一篇我们探讨了概率与统计中一个重要的概念——随机过程概率及随机过程的数学模型已经被广泛地应用到包括金融、气象、物理、信息及计算机等各门学科的研究中在此基础上，波尔兹曼、麦克斯韦、吉布斯等物理学家们建立了统计力学，维纳及香农等建立了信息论。

而布朗运动就是随机过程中的一个典型事例，并由此促进了统计物理及其它相应学科的发展撰文 | 张天蓉 （美国德州大学奥斯汀分校理论物理博士）责编 | 吕浩然知识分子为更好的智趣生活 ID：The-Intellectual。

●　●　●花粉的启示——布朗运动1905年是爱因斯坦的奇迹年，这个26岁的伯尔尼专利局小职员发表了5篇论文，箭箭中的、篇篇惊人，为现代物理学的三个不同领域作出了划时代的贡献：光电效应开创了量子时代，狭义相对论颠覆了经典时空观，对布朗运动的研究则促进分子论的发展。

这三项成就中，或许是因为光电效应和狭义相对论太过耀眼，人们常常低估了爱因斯坦对布朗运动的研究，就连他本人也是如此，经常提及前两项而忽略后者回溯历史，当年爱因斯坦有关布朗运动的论文（包括他的博士论文）对现代物理学的贡献毫不逊色于其它两篇。

查询爱因斯坦文章被引用的次数[1]：最多的是EPR佯谬（15168次），第二位便是布朗运动（8950次），然后才是光电效应（4626次）及相对论（注：以上引用次数截至2015年）那么，什么是布朗运动？1826年，罗伯特·布朗（Robert Brown，1773 - 1858）在用显微镜观察时发现：悬浮在水中的花粉微粒不停地做凌乱不规则的运动，一些学者以为那是某种生命现象，但后来发现，液体或气体中各种不同的、与生物毫不相干的悬浮微粒，都存在这种无规则运动。

直到十九世纪70年代末，才有人提出这种运动的原因并非外界而是出自液体自身，是微小颗粒受到周围分子的不平衡碰撞而导致的运动（图1）

►图1：布朗运动的杂乱轨迹及其成因今天，站在巨人肩膀上的我们把原子和分子的概念当作理所当然，在百多年前却不是这样尽管道尔顿（John Dalton，1766 - 1844）1808年在他的书中就描述了他想象中物质的原子、分子结构，但是这种在当时看不见摸不着的东西有多少人会相信呢？一直到道尔顿之后过了八、九十年，著名的奥地利物理学家玻尔兹曼（Boltzmann，1844 - 1906）还在为捍卫原子理论与“唯能论”的代表人物作斗争。

在十九世纪70年代，玻尔兹曼超前地用分子运动来解释热力学系统的宏观现象以玻尔兹曼为代表的原子论支持者认为：物质由分子、原子组成，而唯能论者则把能量看作是最基本的实体并视为世界本源玻尔兹曼有杰出的口才，但提出唯能论的德国化学家奥斯特瓦尔德（Friedrich Wilhelm Ostwald，1853 - 1932）也非等闲之辈，他机敏过人、应答如流，且有在科学界颇具影响力却又坚决不相信“原子”的恩斯特·马赫（Ernst Mach，1838 - 1916）作后盾。

然而，原子论的支持者看起来却寥寥无几，且大多数都是些不耍嘴皮的实干家，并不参加辩论因此，玻尔兹曼认为自己是在孤军奋战，精神痛苦闷闷不乐尽管在这场旷日持久的争论中，玻尔兹曼最终取胜，但却感觉元气大伤，最后走上自杀之路。

原子论的反对者们当年常用的一句话是：“你见过一个真实的原子吗？”为此，大多数物理学家都在试图用更多的实验事实来证明原子的存在1900年，奥地利物理学家埃克斯纳（Franz S. Exner，1849 - 1926）反复测定了布朗微粒在1分钟内的位移，证实了微粒的速度随粒度（颗粒的大小）增大而降低，随温度升高而增加，由此将布朗运动与液体分子的热运动联系起来。

这下好了！虽然分子、原子太小，难以观察，但它们所推动的布朗运动看得见！爱因斯坦接受了这种将布朗运动归结为液体分子撞击结果的理论，并希望通过分析布朗运动，作出定量的理论描述，以证明原子和分子在液体中真正存在，这也是促使爱因斯坦研究布朗运动的动力。

布朗运动和分子热物理[2]假设布朗运动是因液体分子与悬浮颗粒的碰撞造成的，那么，悬浮颗粒的随机运动便可直接反映液体或气体分子的运动分子的尺寸太小，不可能在当时的实验条件下被直接观察到，但尺寸比分子大得多的布朗粒子的运动却能在显微镜下观察。

此外，虽然原子分子论在当时仍然疑云重重，但科学家们已经为这个假说作了大量的工作，比如在分子动力理论方面，有克劳修斯、麦克斯韦及玻尔兹曼等人刚刚开启、建立的统计力学；在热力学及化学领域中阿伏伽德罗常数、波尔兹曼常数等已经被发现和使用；特别是后来发现的有关分子运动的麦克斯韦–玻尔兹曼速度分布，是物理学史上第一个概率统计定律，它解释了包括压强和扩散在内的许多基本气体性质，形成了分子运动论的基础。

►图2：一维布朗运动的分布函数随时间变化液体内大量的分子不停地作杂乱的运动，不断地从四面八方撞击悬浮颗粒，在任一时刻，每个颗粒受到周围分子碰撞的次数约有1021次/秒如此频繁的碰撞，造成了布朗粒子的无规运动，这种大量质点的运动不太可能靠经典的适用于单粒子体系的牛顿定律所解决，而必须使用统计和概率的方法。

现实中的布朗运动是发生在3维空间的，但作为数学模型，不妨研究最简单的1维情形图2所示便是1维布朗微粒的位置X随时间变化而形成的轨迹假设在初始时间t=0时，所有的小颗粒都集中在x=0的点，然后由于液体分子的碰撞，颗粒便随机地向x的正负方向移动，其图景类似于一滴墨汁滴入水中后的扩散现象。

如果你把视线集中在某一颗粒子上，就可以看到这个颗粒的运动方向在不断改变，不断地作杂乱无规的跳跃但作为整体来看，有些颗粒向上运动，有些颗粒向下运动，由于对称性的原因，向正负两个方向运动的概率是相等的，因此所有颗粒的正负位移相抵消，平均值仍然为零。

然而，平均位移为零不等于静止不动，对每个粒子而言，它们一直都在不停地运动，并且随着时间增大，运动轨迹的“包络”离0点越来越远，整体看起来越来越发散那么，如何描述这种集体的扩散运动呢？位移的平均值为零是因为正负效应相抵消，如果将位移求平方之后再求平均，便不会互相抵消，可以用以衡量颗粒运动的集体行为，这便是爱因斯坦当年用以研究布朗运动的“均方位移”。

事实上，均方位移不仅可以描述布朗粒子的集体行为，也可以描述单个微粒长时间随机运动的统计效应爱因斯坦依据分子运动论的原理导出了均方位移与时间平方根的正比关系（见图2中右图中的公式），其中的比例常数D被称为扩散系数，表明作布朗运动的微粒扩散的速率。

爱因斯坦的理论圆满地回答了布朗运动的本质问题（即无规则碰撞），还得出了分子运动论中重要的爱因斯坦-斯莫卢霍夫斯基关系（第二个名字来自于另一位独立研究布朗运动的波兰物理学家Smoluchowski），该公式将通过布朗运动宏观可测的扩散系数D与分子运动的微观参数联系起来：。

D = μPkBT其中 μP是粒子的迁移率，kB是玻尔兹曼常数，T是绝对温度扩散系数可以更进一步与阿伏伽德罗常数联系起来：D = RT/(6πηNAr)R是气体常数，T为温度，η是介质粘度，NA是阿伏伽德罗常数，r是布朗粒子的半径。

之后，法国物理学家让·佩兰（Jean Perrin，1870 - 1942）于1908年用实验测试了阿伏伽德罗常数，在证实了爱因斯坦理论的同时，也验证了分子和原子真实存在，为分子的真实存在提供了一个直观的、令人信服的证据，佩兰也因此获得了1926年诺贝尔物理学奖。

维纳过程与无规行走爱因斯坦突破性地将概率统计的数学观念用以研究布朗运动，其目的是为了探索布朗运动中隐藏着的、深奥的物理学本质而为布朗运动建立严格数学模型的则是著名的控制论创立者，美国应用数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener，1894 - 1964）。

因此，布朗运动在数学上被称为维纳过程维纳是生于美国的犹太人，从青少年时代开始便是一个引人注目的科学明星他18岁获得哈佛大学的博士学位，之后又在欧洲得到数位名师的指导，其中包括数学家哈代、哲学家兼数学家罗素、数学家希尔伯特等。

随后，维纳又被哈佛返聘回到美国二战时期枪炮控制方面工作引发了维纳进行通讯理论和反馈的研究，加之他从小对生物学的兴趣，造就了这位信息论先驱及控制论之父他的著作《 控制论：或关于在动物和机器中控制和通信的科学》一书，促成了控制论的诞生。

维纳在MIT工作时仔细深入地从数学上分析研究了理想化的布朗运动，即维纳过程他发现在电子线路中电流的一种类似布朗运动的不规则“散粒效应”，这个问题在维纳的时代尚未成为电子线路的障碍，但20年后却成为电气工程师一个必不可少的工具，因为当电流被放大到某一倍数时，就显示出明显的散粒随机噪声，有了维纳过程的数学模型，工程师们才能找到适当的办法来避免它。

►图3：维纳和布朗运动通信和控制系统所接收的信息带有某种随机的性质，维纳的控制论也是建立在统计理论的基础上从原点出发的维纳过程W(t)（W(0)=0）有如下几点性质（图3b）：W(t)是无规行走的极限过程维纳过程是上一篇酒鬼漫步中介绍的无规行走（随机游走）的极限过程。

通俗地说，无规行走是按照空间格点一格一格的走，假设格点间距离为d，而维纳过程则是d趋于0时无规行走过程的极限W(t)是齐次的独立增量过程随机变量的增量分布只与时间差有关，而与时间间隔的起始点s无关，此谓“齐次”；任一时间区间上的概率分布独立于其它时间区间上的概率分布，此谓“独立”。

W(t)是马尔可夫过程该过程未来状态只依赖于当前的随机变量值W(t)W(t)是“鞅”过程（martingale）已知本次和过去的所有观测值，则下一次观测值的条件期望等于本次观测值或者说：当前的状态是未来的最佳估计。

W(t)关于时间 t处处连续，处处不可微分这个结论看起来与图3中所画的不一样，但是理论上格点距离d应该趋近于0W(t)的常返性W(t)与随机漫步一样，一维和二维的维纳过程是常返的，也就是说几乎一定会回到起始的原点。

当维度高于或等于三维时，维纳过程不再是常返的如同上一篇中介绍的数学家角谷静夫的总结：“醉鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家”W(t)是一种分形与格点距离d有限的随机漫步不同的是，维纳过程的图案拥有尺度不变性，即具有分形特征。

分形是一种自相似结构，无论放大或缩小，在所有尺度下都显得相似，都具有精细的结构尽管数学上的分形是理想的极限情形，但自然界中许多事物却可以用此模型来近似地描述，常见的例子有海岸线、雪花、花菜、树枝结构等等。

从花粉的启示，到爱因斯坦的深研，布朗运动所开启的篇章已经应用于各处。下一篇，我们将介绍在统计物理和信息论中都起着重要作用的一个特殊角色：熵。

参考资料：【1】https://scholar.google.com/citations?user=qc6CJjYAAAAJ【2】郝柏林. 布朗运动理论一百年[J]. 物理, 2011, 40(01): 0.

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