2023年12月28日是匈牙利裔数学家、物理学家、计较机科学家、工程师约翰·冯·诺伊曼120周年生日

　　2023年12月28日是匈牙利裔数学家、物理学家、计较机科学家、工程师约翰·冯·诺伊曼120周年生日。他的传奇平生做过太多奉献，以至只把他的主要事情枚举并扼要注释都是普通专业人士力所不及的。在冯·诺伊曼逝世时，《美国数学学会公报》（Bulletin of the American Mathematical Society）推出了一期留念专辑，此中出名数学家、“氢弹之父”乌拉姆撰写了长篇文章，按工夫次第引见冯·诺伊曼平生和事情。我们将其全文翻译（分两篇推送），大概从乌拉姆的报告中我们能够理解到冯·诺伊曼为什么能做出云云之多奉献的缘故原由。谨以此文以留念这位巨大的全才型学者。

　　另外一部青少年期间的作品是关于分歧浓密数列的论文（用匈牙利语写作，而择要是德语），文章证实了将一个浓密列从头排序能够获得一个分歧浓密的序列。这项事情还没有显现其数学设想将来会有的深度，也不存在手艺上的艰难，可是该论文主题的挑选和证实中本领的简约性预示着，他将来的研讨将包罗汇合论直觉与代数本领的分离。

　　这些定理第一次表白群性子阻遏了一元实变量函数实际中常见的“病态”（pathological）能够性。此论文经由过程将元素暗示为指数算子的乘积，具体地提醒了这些群的构造，其成果厥后被嘉当（Élie Cartan）推行到普通李群的子群，并作了简化。这些成果表白，关于一个线性流形，假如它满意以下性子：若它包罗矩阵U,V，则其同时也包罗交流子UV-VU，如许的线性流形是全部群G的一个无量小群。这篇论文十分主要，由于它早于嘉当，而晚于阿多（Igor Dmitrievich Ado）。固然，冯·诺伊曼本人的论文[48]28处理了紧群的希尔伯特第五成绩。

　　应约翰尼的约请，我在1935年末第一次来到美国。维布伦传授（Oswald Veblen）和他的老婆摆设了使人高兴的交际举动，我发明冯·诺伊曼【和亚历山大（James Waddell Alexander）】的屋子险些成了各类集会的按照地。那是经济冷落的年月，可是研讨院想法让相称数目的当地和来访数学家过上相对无忧无虑的糊口。

　　在与库拉托夫斯基协作的论文[69]24中，关于由超限归结法界说的某些实数汇合的投影性，他们得到一些准确而有力的成果。出名的勒贝格集25，从前被库拉托夫斯基证实是属于第三投射类 （projective class 3），如今它被证实是两个剖析集的差集，因而属于第二投射类。他们借助于某些更普适的机关，获得了关于汇合剖析特性（Hausdorff 意义下）的更普通的定理。这一成果关于今朝尚不完美的射影汇合实际仿佛具有主要的意义。

　　在希尔伯特空间、算子实际与算子环方面，冯·诺伊曼对这些课题所做的根底且片面的研讨能够在他与默里（Francis Joseph Murray）传授和卡迪森（Richard V. Kadison）传授的论文中找到。他对这个主题的最后爱好源于对量子实际严厉的数学表述。

　　跟着欧洲战役的开端，约翰尼在研讨所之外的举动开端成倍增长。本文开端列出了他的职位、构造成员资历等（编者注：将于下篇推出），仅仅从这个列表便可让我们理解约翰尼为当局表里的各类科学项目所做的大批事情。

　　数学家在开端缔造性的事情时，常常面对两种互相冲突的念头：第一种是为现有的大厦添砖加瓦——人们能够经由过程处理已有成绩而疾速得到承认；第二种是开拓新门路的希望，交融已有认知从而缔造出新的范畴。后一种做法是一项风险更大的奇迹，对其代价或胜利与否的终极判定只会在将来呈现。在晚期的事情中，约翰尼挑选的是第一种。而到了暮年，他对本人感应充足自大，这才自在地但也是费尽心血肠创立一门能够的新数学学科——主动机和生物体的组合实际。（编者注：可拜见《图灵和冯·诺伊曼的遗产：性命计较机的架构》）但疾病和早逝让他只开了一个头。

　　虽然他具有壮大的才能，也对这些才能有充实认识，但他缺少必然的自大。约翰尼十分敬佩几位数学家和物理学家，以为他们具有本人没法到达的最高水平的品格。我以为令他有这类觉得的品格是，对新真谛的直觉，一种相对简朴的思想才能；大概是一种先天——对新定理的陈说或证实的看似不公道的洞察。

　　他在科学以外的次要爱好是研讨汗青，他对现代汗青的理解使人难以置信地具体。比方，他能记着吉本（Edward Gibbon）的《罗马帝国灭亡史》（The History of the Decline and Fall of the Roman Empire）中的一切轶事，并喜好在晚餐后到场汗青会商。在一次南下去杜克大学参与美国数学学会（American Mathematical Society，AMS）的集会的游览中，路子南北战役的疆场四周，他对战役里最细枝小节的故事的熟习水平让我们感应震动。这类百科全书式的常识经由过程某种“剖析延拓”，塑造了他对将来变乱历程的观点。我能够作证，在对招致第二次天下大战的变乱和战役时期军事情乱的猜测中，他的大大都推测都出奇的准确。但是在大战完毕后，他以为极有能够会立刻发作劫难，荣幸的是，他的担心被证实是毛病的。或许有一种偏向，他对汗青变乱采纳过于地道的理性概念，而这类偏向多是因为过分情势化的博弈论办法酿成的。

　　在约翰尼伴侣的影象中，他老是以独有的姿式站在黑板前或在家里会商成绩百科常识问答游戏。不知何以，他的手势、浅笑和眼光所触老是能反应其思惟，大概所会商成绩的素质。他中等身体，年青时相称修长，厥后变得愈来愈胖了；他走路时步幅很小，速率历来都不是很快，但加快率却相称随机。每当一个成绩表示出逻辑或数学悖论的特性时百科全书英语单词，他的脸上就会闪过浅笑。除爱好笼统的聪慧，他还十分浏览（以至能够说是饥渴）更接地气的笑剧和诙谐。

　　约翰尼的安康情况不断很好，但从1954年开端他看起来十分怠倦。1955年炎天，他经由过程X射线查抄发明了致命疾病的最后迹象。一场冗长而暴虐的疾病逐步完毕了他一切的举动。最初他在华盛顿的沃尔特·里德病院逝世，享年53岁。

　　这个标致的成果基于哈尔的论文（揭晓于统一期），哈尔在持续群中引入了稳定测度函数。冯·诺伊曼由此遭到启示，接纳了相似于群上的Peter-Weyl积分，并利用关于积分算子的有限个特性函数的线性组合来迫近函数的定理（这是施密特博士论文提出的），和奇妙使用n维欧氏空间中地区稳定性的布劳威尔定理，终极证实了紧致n维拓扑群持续同构于有限维空间的酉矩阵组成的闭群。

　　约翰尼对人有浓重的爱好，喜好八卦。人们经常会以为，他正凭本人的影象搜集人类的各类特征，似乎在筹办一项统计研讨。他也存眷工夫流逝带来的变革虫草百科常识大全。他年青时曾屡次向我提到，他以为在约莫26岁以后，缔造性的数学才能会降落，但因经历积聚而开展出的某种更平铺直叙的经历和机警可以补偿这类逐步损失的才能，最少在一段工夫内是云云。厥后，他把这一限定年齿逐步进步了。

　　冯·诺伊曼在研讨数学根底的同时，也在汇合论自己和由汇合论中的成绩所驱动的实变量实际和代数实际方面获得了共同的停顿。比方，冯·诺伊曼机关了一个与持续统等势的实数子集，使其内任何有限个元素都是代数无关的。而该证实没有效到挑选正义。在同年揭晓在《数学根底》（Fundamenta Mathematicae）上的一篇论文[14]14中，他给出将区间合成为可数个不订交且同余的子集的办法（译者注：实数集的两个子集是同余确当且仅当此中一个子集经由过程平移和对称操纵可获得另外一个子集）。该办法处理了斯坦豪斯（Hugo Steinhaus）的一个成绩——需求一种特别的机关才气在区间长进行如许的合成。而豪斯多夫（Felix Hausdorff）对圆的响应合成则要简单很多。（这是由于圆周是一个群流形。）

　　在全部学术生活生计中，冯·诺伊曼对这一主题一直连结着爱好。以至直到最初，在处置其他研讨事情的同时，他还获得并揭晓了关于算子性子和谱实际的成果。论文[106]31揭晓于1950年，是为了恭喜施密特75岁诞辰而写的（是施密特率领他熟悉到了这一主题的魅力）。最少在酉的情况及其线性变更中，探究非紧致性的奥妙方面，没有人比冯·诺伊曼做得更多。在此后很长一段工夫内，这个标的目的的事情将以他的成果为根底。这项事情如今正由他的协作者和从前的门生（出格是默里）和其他力促进，我们完整能够等待他们会对线性算子性子提出更有代价的看法。

　　在论文[54]20中，冯·诺伊曼将以往只为襟怀空间界说的完整性观点推行到线性拓扑空间，同时获得了不是襟怀空间倒是完整空间的风趣例子。固然，这类状况触及到不成分空间。该论文还包罗伪襟怀（pseudo-metric）和凸空间的新奇机关。

　　32. 吉文斯传授（Wallace Givens）正在筹办一份课本，不久将由普林斯顿出书社出书。另外一篇写于1935年的关于持续多少的论文揭晓在《数学年鉴》（Annals of Mathematics）。

　　揭晓在 Compositio Mathematica 上的综述性论文《关于无量直积》（On infinite direct products）[75]26，包罗了算子的代数实际和此体系的测度实际，这在当代笼统阐发中十分主要。冯·诺伊曼总结了从前一些关于泛函算子的代数、算子环的拓扑，包罗不成分超希尔伯特空间（non-separable hyper-Hilbert spaces）的事情。从方角度和实践机关来讲，这篇论文包罗了其时期数研讨的开辟性内容，同时也是一篇优良的引见性文章。从向量空间开端，文章开始处置它们的乘积，然后是这些构造上的线性算子，最初处置这些算子的类，再次从“第一条理”开端考查这些算子作为向量空间的代数性子。冯·诺伊曼筹算将这个精致的体系与量子实际中的超量子化（hyperquantization）作类比，并出格将此论文看做关于非可数乘积的数学筹办。

　　1929年，他来到汉堡大学，仍是做私俸讲师。1930年，他第一次来到美国，在普林斯顿大学任客座讲师百科全书英语单词。我记得约翰尼报告我，即便德国大学现有和将来的空白职位屈指可数，但另有四十或六十个讲师都盼望能在不久的未来当上传授。约翰尼用他典范的理性办法计较了“三年内”预期的传授录用数目是3，而（候选）讲师有40个！他还感应行将到来的变乱将使智力事情变得十分艰难。

　　或许冯·诺伊曼关于汇合理的论文中最风趣的是[23]11。文章讨论了满意某一性子的一切汇合能组成一个新的汇合的充要前提。此前提是，不存在一切汇合的类到满意该性子的汇合的类的一个单射。此汇合的存在性准绳被冯·诺伊曼用作为正义12，而其他体系中假定的一些正义，出格是挑选正义，都可由它推导获得。如今我们也证实了反之亦然，即这些其他正义也能够推导出这一冯·诺伊曼正义。因而，假如凡是的正义是分歧的，那末该正义也是分歧的。

　　哈尔莫斯（Paul Halmos）传授的文章形貌了冯·诺伊曼对测度论的主要奉献。而我们以他的其他奉献为布景，扼要引见他在这一范畴的事情。

　　在提交给《美国数学学会公报》的一个未正式揭晓的择要中（附录2[14]30），冯·诺伊曼提出了包罗了关于3维球面的一切同胚组成的群的单元分支的单性定理。实践定理是：随便给定两个（均不为恒等映照的）同胚A, B，存在A的有限个数（23曾经充足了）的共轭使得它们的乘积即是B。

　　12. 哥德尔说:“这个正义的风趣的处所在于它是一个极大性准绳，有些相似于多少中的希尔伯特完整性正义。大略地讲，它是说任何汇合，只需不以一种明肯定义的方法招致冲突，它就存在。作为一个极大准绳，它也注释了如许一个究竟，即这个正义包含挑选正义百科常识问答游戏。我以为笼统汇合论的根本成绩，如康托尔的持续统成绩，只要在此类更强正义的协助下才气获得使人合意的处理。这类正义在某种意义上是与数学的机关主释相反或互补的。”

　　在20世纪30年月中期，约翰尼对流体动力学（hydrodynamics）中的湍流成绩沉迷，他意想到了非线性偏微分方程背后的奥妙。从第二次天下大战开端，他的事情就触及对流体动力学方程和打击实际的研讨。这些非线性方程所形貌的征象没法剖析求解，以至今朝的办法连定性了解都不克不及够。在他看来，数值计较仿佛是了解这类体系举动最有期望的办法。这促使他从一开端就研讨了在“电子机械”长进行计较的新能够性。他开端研讨计较实际，并动手主动机（automata）实际的事情，此实际至今仍在开展。恰是在这些研讨中，他对神经体系的事情道理和生物体的体系化特征发生了浓重爱好，并为此支出了很多精神。

　　在他对（数学）合用性的不竭探究，和关于一切精准科学追求普通数学的本能中，他会让人想到欧拉、庞加莱，大概是更近代的，或许是赫尔曼·外尔。人们该当记着，今世成绩的多样性和庞大性大大超越了前两人所面对的状况。约翰尼在他最初的一篇文章遗憾地指出，如今能够没有任何一个大脑能学会纯数学范畴三分之一以上的常识。

　　1954年10月，他被总统录用为美国原子能委员会成员。他告假分开了普林斯顿大学，并停止了除洲际弹道导弹委员会（ICBM Committee）主席以外的一切职务。（原子能）委员会主席，也是约翰尼多年的伴侣，水师大将施特劳斯（Lewis Strauss）发明委员会有空白后立刻倡议提名约翰尼。关于约翰尼在委员会的长久退役，他写道：

　　伯克霍夫（Garrett Birkhoff）的文章《冯·诺伊曼和格实际》（Von Neumann and lattice theory），纪录了约翰尼关于格实际和持续多少方面的事情。冯·诺伊曼对这些实际的爱好一样是基于这些新的组合和代数构造在量子实际的潜伏使用。

　　在论文[51]19中，冯·诺伊曼证实了由哈尔机关的哈尔测度的独一性（参考 Ann. of Math. vol. 34, pp. 147-169），这类测度请求（勒贝格型）测度在群的左乘或右乘下连结稳定。关于紧群而言，哈尔测度的独一性在当时曾经获得了证实。冯·诺伊曼在他的证实中引入了一种差别于哈尔的机关。这篇文章早于可分拓扑群上的概周期函数（almost periodic functions）的普通实际的机关，并与其正交暗示论相兼容。

　　正义体系的简约性使人惊奇，一阶和二阶工具的引入科学百科大全下载，别离对应于朴实汇合论中的汇合和汇合的性子；这些正义打印下来只需求一页多一点，却足以成立险些一切的朴实汇合论，并由此成立一切确当代数学。直到明天，这都是汇合论数学的最好根底之一。哥德尔在其关于挑选正义的自力性和持续统假定的巨大事情中，利用了一个受这类办法启示的体系。值得留意的是百科常识问答游戏，在冯·诺伊曼关于汇合理化的第一篇论文中，他明白地熟悉到数学家为了不布拉利-福尔蒂悖论（Burali-Fortis paradox）、理查德悖论（Richards paradox）和罗素悖论（Russells paradox）而采纳的两个底子差别的标的目的。由罗素（Bertrand Russell）、科尼格（Julius König）、布劳威尔（L. E. J. Brouwer）和外尔构成的小组采纳了更激进的概念，即准确科学的全部逻辑根底必需遭到限定，以避免呈现上述范例的悖论。冯·诺伊曼说：“对他们事情的整体印象险些是使人瓦解的。”他阻挡罗素将全部数学的根底成立在可疑的复原正义上（axiom of reducibility）；关于外尔和布劳威尔回绝承受他所以为的数学和汇合论的大部门更故意义的内容，他也暗示阻挡。

　　约翰尼的伴侣们喜好他绝妙的诙谐感。在科学偕行中，他能够用数学家的表达方法，对汗青或社会征象做出具有启示性（凡是是挖苦性）的批评，表示出只要在空集合命题才准确的那种内涵诙谐。这些凡是只要数学家才气浏览。固然，他其实不以为数学是崇高不成进犯的。我记得在洛斯阿拉莫斯的一次关于物理成绩的会商百科全书英语单词，此中数学论证利用了遍历变更（ergodic transformations）和不动点（fixed point）的存在。他忽然笑着说：“当代数学毕竟可使用！我们不分明它是先验的，对吧，但它能够会是……”

　　约翰尼的第一次婚姻以仳离了结。1938年炎天，他在布达佩斯的游览中再婚，并把第二任老婆克拉拉·丹（Klára Dan）带回了普林斯顿。他的家仍旧是科学家们集会的处所。他的伴侣们城市记得他美意招待，和那边布满聪慧与幽默的气氛。克拉拉厥后成为第一批为电子计较机编写数学成绩的法式员之一，这门艺术的一些晚期本领恰是她缔造的。

　　冯·诺伊曼对数学根底成绩的爱好不断连续到性命的最初一刻。在上述一系列论文降生25年后百科常识问答游戏，人们能够从他构建的有关计较机逻辑中发明那些事情的印记。

　　在每学期开端，他要为了经由过程课程测验回到布达佩斯大学 (不参与听课，如许做几有点分歧划定规矩)。他在布达佩斯得到数学博士学位的同时，也在苏黎世得到了化学学位。在苏黎世时期，他把大批专业工夫花在数学成绩上，写文章并和数学家们通讯。其时外尔（Hermann Weyl）和波利亚（George Pólya）都在苏黎世，约翰尼与他们有过联络。有一次，外尔长久分开苏黎世，在此时期，约翰尼替他上课。

　　在与约尔当（Pascual Jordan）协作的一篇论文[59]21中，他们处理了由弗雷歇（René Maurice Fréchet）提出的线性襟怀空间中广义希尔伯特空间的表征成绩。这篇文章增强了弗雷歇成果并获得一个充要前提：一个线性襟怀空间L同构于希尔伯特空间，当且仅当每一个2维线性质空间都同构于欧氏空间。

　　该文将汇合论中有关欧几里无暇间的结论推行到了更一搬的拓扑和代数构造中，这是相似的成绩和办法最后的实例之一，尔后这类趋向愈创造显。两个汇合的“同余”被更广义地了解为在某给定变更群感化下的等价性；测度则是广义的可加函数。一样，这个成绩的表述预示着哈尔的事情和对豪斯多夫-巴拿赫-塔斯基悖论合成的研讨16。

　　他在《数学杂志》（Mathematische Zeitschrift）上的巨大论文[12]13《关于希尔伯特的证实论》（Zur Hilbertschen Beweistheorie）特地研讨了数学中制止冲突的成绩。这项典范研讨论述了普通数学的情势主义背后的原始思惟。原文夸大由希尔伯特倡议并开展、伯内斯（Paul Bernays）和阿克曼（Wilhelm Ackermann）等人也到场过的这个庞大成绩，还没有获得使人合意的处理。出格是，冯·诺伊曼指出阿克曼关于分歧性的证实不克不及用于典范阐发，我们只能用严厉的有穷办法证实其某个子体系的分歧性。究竟上，冯·诺伊曼证实了（虽然他没有明白陈说这一点），关于有限（便可断定）干系的量词和命题连词的逻辑实际是分歧的。这与希尔伯特的原始方案，即完整利用严厉有限的办法，所能得到的极限相去不远。但冯·诺伊曼其时揣测，局部阐发的分歧性都能够用一样办法证实。今朝，人们一直会有如许一种印象，即希尔伯特及其学派的事情所分析的思惟，以云云准确的方法开展，随后再由哥德尔完全改革，但还没有闭幕。或许我们正处于另外一个巨大的历程当中：对汇合论“朴实”地处置，和源自我们对有限性的直觉而做出的元数学情势化的测验考试，正在转向将来的“超汇合论”。数学史上并很多见的是，顶尖数学家对现有科学成绩的直觉，大概更切当地说，一种共有的恍惚感触感染，以后都被情势地归入进一个触及原有体系素质的“超等体系”科学百科大全下载。

　　在1928年的“奇观年”，冯·诺伊曼同时写出了关于博弈论的文章。这是他在这个厥后成为组合范畴内主要标的目的所写的第一部作品，博弈论今朝正在兴旺开展，有十分多的使用。很难信赖，从1927年开端，在完成上述事情的同时，他还能揭晓大批关于量子实际的数学根底、量子统计实际中的几率成绩的论文，在持续群暗示方面也获得了主要成果！

　　在杂志“Sbornik”的论文[64]23中，冯·诺伊曼再次研讨了哈尔测度的独一性成绩。先前的独一性证实是经由过程差别于哈尔机关的办法完成的，这类机关不包罗随便的元素，并且主动地导出了测度的独一性。而这篇文章给出了合用于部分紧可分群的双稳定外测度的独一性的自力办法。【统一期间，韦伊（André Wei）给出了一个差别的证实。】

　　在近来的一些关于数学根底近况的会商中，冯·诺伊曼仿佛在表示，在他看来，故事还远没有讲完。哥德尔的发明使得我们该当用一种新办法来了解数学中情势主义的感化，而不是就此闭幕这一线]中非正式会商的严厉正义化处置。该论文的第一部门引见了汇合论中的根本运算，等价、同构（similarity）、良序等实际的根底，最初在对序数处置的根底上，证实了有限或超限归结界说的能够性。冯·诺伊曼在论文弁言的最初准确地指出，在从前汇合论的任何正义或非正义体系中都没有严厉地引见过超限归结法。

　　约翰尼被很多人视为优良的委员会主席（这是一项特别确当代举动）。他会竭力夸大本人的手艺概念，而在小我私家或构造事件上很简单依从。

　　在第一次天下大战前后的二十年里，布达佩斯被证实是孕育科学人材的超等膏壤。为什么这里能催生出云云浩瀚的出色人材，这要留给科学史家去发明和注释了（他们的名字在现今的数学和物理学年鉴上触目皆是；编者注：拜见《这个不起眼的小国，走出了科学史上最出色的一群人》）。约翰尼多是这群科学家中最刺眼的明星。当被问及是甚么招致了这类统计学上不太能够呈现的征象时，他会说，这是一些他没法准确注释的文明身分的偶合：中欧地域全部社会所接受的内部压力，小我私家潜认识中的极端不宁静感，和必需发生不服常的工具，不然会晤对衰亡的须要性。第一次天下大战突破了原本的经济和社会形式。布达佩斯，已经是奥匈帝国的第二都城，如今是一个小国的次要都会。对很多科学家来讲，他们不能不移民，到其他不那末受限定和偏僻的处所营生。

　　冯·诺伊曼对其他数学家得到的成果及其包含的潜力的熟悉是惊人的。在其晚期的事情中，博雷尔（Émile Borel）关于极大极小性子的论文启示冯·诺伊曼写出论文《交际游戏实际》（Zur Theorie der Gesellschaft-Spiele）2[17]，这些设法厥后在他最具原创性的佳构之一——博弈论中到达高峰。库普曼（Bernard Koopman）关于经由过程函数空间上的算子处置典范力学成绩的能够性的设法，启示他给出数学上遍历定理的第一个严厉证实。哈尔（Alfréd Haar）对群中测度的建构，为他奇妙地部门处理希尔伯特第五成绩供给了灵感，他证实了在紧群中引入剖析参数的能够性。

　　这篇1925年论文的最初一句话最风趣。冯·诺伊曼指出了任何正义体系情势化的范围性。这里或许是对哥德尔（Kurt Gödel）关于情势体系中存在不成断定命题的一个恍惚猜测。最初一句话是：“就今朝而言，我们能做的莫过于声明这里存在对汇合论自己的阻挡定见，并且如今还没有法子制止这些艰难。【或许在这里我们会想到一个完整差别的科学范畴的相似说法：泡利（Wolfgang Pauli）在《物理学手册》（Handbuch der Physik；译者注：引见实际和尝试物理学的“百科全书”，无数十卷）的文章中对相对论性量子实际近况的评价，无量大和发散在场论中仍旧起着奥秘的感化。】

　　他更加了解第二个不那末激进的集体，此中有策梅洛（Ernst Zermelo）、弗兰克尔（Abraham Fraenkel）和舍恩弗利斯（Arthur Moritz Schoenflies）。冯·诺伊曼晓得他们（也包罗他本人）的事情还远未完成，他也明白指出了这些正义看起来仿佛有些随便。他说，他们的正义化不克不及证实此情势体系不克不及推出冲突，但即便朴实汇合论在此意义上不克不及被完整庄重看待，最少它所包罗的大部分内容能够重述为情势体系中的证实，且这些“情势化”内容能够被明肯定义。

　　7. 关于此文，耶路撒冷希伯来大学的Fraenkel传授给我写了以下内容：“约莫在1922年-1923年，我其时是马尔堡大学的传授，我从柏林的埃哈德.施密特传授（代表Mathematicische Zeitschrift的编纂部）那边收到了一份生疏作者的很长的手稿，签名是Johann von Neumann，题目为Die Axiomatisierung der Mengenlehre，这是他终极的博士论文，但直到1928年才揭晓于《数学杂志》（Mathematische Zeitschrift，第27卷）。我被收罗定见，由于文章仿佛难以了解。我其实不以为本人甚么都理解，但足以看出这是一部佳构，我认出了“狮子的爪子”（ex ungue leonem）。而要答复这些成绩，我约请这位年青的学者到马尔堡会见，和他一同会商，并激烈倡议他筹办一篇非正式的论文来注释这篇手艺性很强的文章，夸大处理成绩的新路子及其根本成果。为此他写了一篇题为《门格勒的正义》（Eine Axiomatisierung der Mengenlehre）的文章，以后我于1925年在《纯数学与使用数学杂志》（Journal für die reine und angewandte Mathematik，154卷）上揭晓了它，其时我是该杂志的副主编。”

　　约莫在1935年，伯克霍夫从感德金（Richard Dedekind）的原始表述中开展和推行了格实际。约莫统一期间，马歇尔·斯通体系地论述了布尔代数在代数实际和汇合论方面的性子。我记得在1935年炎天，伯克霍夫、斯通和冯·诺伊曼从一个莫斯科数学集会返来的路上，在华沙停止，并在华沙数学学会的一次集会上，做了关于这些范畴新停顿的简朴演讲，还包罗量子实际逻辑的新表述。这以后的会商令人们对用普通布尔代数和格论的言语来形貌量子实际所具有的潜伏使用发生了等待。厥后冯·诺伊曼曾屡次回到这些测验考试傍边，但他在这个标的目的上的大部门设法只记载在未揭晓的条记里32。

　　在其他成绩中，约翰尼仍是一名超卓的言语学家。他十分分明地记得他在黉舍进修的拉丁语和希腊语。除英语外，他还能说流畅的德语和法语。他在美国的演讲以其文学性而著名（只要个体他的伴侣们脍炙人口的标记性毛病发音，比方“integhers”；译者注：整数应为“integers”）。在他频仍交往于洛斯阿拉莫斯和圣达菲（新墨西哥州）时期，他对西班牙语的理解不太完善，在墨西哥游览中，他试图经由过程利用“新-卡斯蒂利亚语”来表达本人的意义，这是他本人缔造的言语——把英语单词带上“el”前缀和恰当的西班牙语末端。

　　论文[24]27研讨了希尔伯特第五成绩衍生出的一系列成绩：对持续群停止参数变更能否能够使群运算变得剖析。在我看来，这篇论文是该范畴获得的第一个主要功效。它处置了n维空间的线性变更群的子群，并获得必定的成果：每一个如许的持续群都有一个正轨子群，部分存在剖析的参数暗示，而且如许的参数表述与有限个参数逐个对应。

　　一多量年青数学家对汇合论的正视，是谁人时期的明显特性。乔治·康托尔（George Cantor）的巨大思惟经由过程巨大的法国人贝尔（René-Louis Baire）、博雷尔、勒贝格（Henri Lebesgue）和其别人的事情，终极在实变函数实际、拓扑学和厥后的阐发学中获得了表现。活着纪之交，这些内容还不是年青数学家根本直觉的一部门。而在第一次天下大战完毕后，人们留意到这些思惟对新一代数学家来讲，算是成为本能了。

　　战前，约翰尼会在欧洲渡过暑假并做一些讲座（1935年在剑桥大学，1936年在巴黎的亨利·庞加莱研讨所）。他常常提到，因为慌张的氛围，他发如今那边做科学事情险些是不克不及够的。而战后，他只在必不得已的状况下才出国游览。

　　1957年2月8日，约翰·冯·诺伊曼（John von Neumann）死。数学界落空了最具首创性、最有洞察力、最多才多艺的思维；科学界则落空了一个盖世全才，也落空了一名共同的数学解释者。他能带来最新的（并开辟潜伏的）办法，将其使用于物理学、天文学、生物学和新手艺。很多出色人物曾经报告并歌颂了他的奉献。这篇文章的目标是，以我们了解并连续了25年的交情为布景，扼要引见他的糊口和事情。（编者注：文中引见的论文编号为作者收拾整顿附录列表的编号，我们以正文方法列在文后。）

　　1954年，冯·诺伊曼在美国国度科学院（National Academy of Sciences）的一份查询拜访问卷中暗示，他以为这项事情位列他本人最主要的三项数学奉献之一。仅就篇幅而言，这些主题的论文约占他出书著作的三分之一。此中包罗对线性算子性子十分具体的阐发，和对无量维空间的算子类（算子环）的代数研讨。这些功效完成了他在《量子力学的数学根底》（Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik）一书中声称的目标，即证实了最早由希尔伯特提出的数学思惟可以为量子物理奠基充实的根底，没有须要为这一物理实际引入新的数学系统。

　　1930年，他承受了普林斯顿大学的客座传授职位百科常识问答游戏，在一学年的部合作夫里讲学，然后在炎天回到欧洲。他于1931年景为普林斯顿大学的常任传授。1933年百科全书英语单词，他被约请作为传授参加普林斯顿高档研讨院（IAS），是研讨院最年青的毕生成员百科全书英语单词。

　　在与约尔当和维格纳（Eugene Wigner）协作的论文中[50]29百科全书英语单词，我们能够发明冯·诺伊曼将笼统的代数思惟与剖析本领二者绝妙地分离起来，这是一篇关于量子力学情势化的代数推行的论文，被以为多是量子力学实际将来推行的出发点，并处置交流但不分离的超复代数（hypercomplex algebras）。根本成果是，一切这些情势上实有限的，可交流的r-数系只是矩阵代数，只要一个破例。但是，这个破例关于量子实际所需的推行来讲仿佛太狭小了。

　　冯·诺伊曼对酉空间线性性子的分类具体得使人难以置信，处理了很多有关算子的成绩。它给出了完好的超极大变更（hypermaximal transformations）实际，使希尔伯特空间险些与有限维欧几里无暇间一样，完整在数学家的把握当中虫草百科常识大全。

　　他十分分明，数学事情的代价尺度在某种水平上是地道审美的。他曾表达过如许的担心：在我们如今的文化中，笼统的科学成绩的代价能够会削弱，“人类的长处能够会改动，今朝对科学的猎奇能够会截至，将来人类的思想能够会完整差别。”有一次说话的中间是不竭加快的手艺前进和人类糊口方法的变革，这让人以为我们仿佛正在靠近一些人类汗青的根本奇点，超越了奇点，我们所晓得的人类事件就没法持续下去。

　　他偶然会在说话中对其他科学家停止评价，总的来讲，他的观点相称宽大，但也常常明褒暗贬。实在他表达的判定十分慎重，他不情愿对其别人揭晓任何终极定见：“让拉达曼迪斯（Rhadamanthys）和米诺斯（Minos；译者注：他们是希腊神话中冥界的审讯官）……判定……”有一次他被问及此事，他说他以为埃哈德·施密特（Erhard Schmidt）和外尔是对他影响很大的数学家，出格是在他晚期事情的手艺方面。

　　我们按工夫次第回忆冯·诺伊曼的爱好和成绩，很大水平上这也是回忆已往30年全部科学的开展。在他年青时的事情中，他不只存眷数理逻辑和正义汇合论，并且同时存眷汇合论自己的本质，并在测度实际和实数实际中得到了风趣的成果。

　　从这些正义开端，推导汇合论的大大都主要观点时，其代数运算的服从是惊人的；这类处置方法的经济性仿佛表白，素质上的简约更能惹起人们的存眷，而不是为了简约而寻求本领。这为用“机械”或“主动机”的观点来研讨有穷情势体系的范围性供给了根底9。

　　在关于普通测度实际的论文[28]15中，冯·诺伊曼处理了群的子集的有限可加测度成绩。他将豪斯多夫的球面合成悖论，和巴拿赫（Stefan Banach）和塔斯基（Alfred Tarski）对三维球体所做的绝妙合成的相干实际，从欧几里无暇间推行到普通的非阿贝尔群（编者注：拜见《数学家的把戏：一物生二物》）；巴拿赫关于存在平面一切子集的可加测度的必定成果则被推行到普通交流群的子集。约翰尼最初的结论是，一切可解群都是“可测的”（即能够在此中引入如许的测度）。

　　值得留意的是，总的来讲，少年天赋做出原创数学事情在欧洲并很多见。与美国比拟，在专业教诲方面仿佛最少有两三年的差异，这多是因为美国在高中和大学之间实施了更麋集的教诲系统（预科）。但是，即便在神童中，约翰尼也是鹤立鸡群的。他在门生时期就开端了本人的原创性事情。1927年，他成为柏林大学的私俸讲师（Privatdozent），以此身份事情了近3年。在那段工夫里，因为在汇合论、代数和量子实际方面揭晓的论文，全天下的数学家都晓得了他科学百科大全下载。我记得在1927年，当他来到利沃夫（Lwów，其时属于波兰）参与一个数学家大会时，他在数学根底和汇合论方面的事情曾经很著名气了百科常识问答游戏。我们这群门生把他的功效看成年青天赋事情的规范。

　　这趟穿越数学科学浩瀚范畴的路程并非躁动不安的成果。这既不是对新奇性的寻求，也不是对将一小部门通用办法使用于很多差别特别状况的希望。与实际物理差别，数学其实不范围于几其中心成绩。冯·诺伊曼以为，对同一的寻求，假如成立在地道的情势根底上，那必定要失利。这类普遍的猎奇心以一些元数学（metamathematical）念头为根底，并遭到物理理想天下的激烈影响——那些物理征象能够在将来很长一段工夫内都没法情势化。（编者注：可拜见《杨振宁点评物理学的正义化》。）

　　“在他得到录用之日到1955年暮秋之间的这段工夫里，约翰尼阐扬了宏大的感化。他具有极端贵重的才能，可以把最艰难的成绩拆分红几个部门，因而统统变得十分简朴。而一切人都在想为何我们不克不及像他那样分明地看到谜底。经由过程这类方法，他极大地增进了原子能委员会的事情。”

　　约翰尼于1930年与玛丽埃塔·科维西（Marietta Kovesi）成婚。他们的女儿马瑞娜（Marina）1935年诞生于普林斯顿。在研讨院建立的最后几年里，来自欧洲的会见学者会发明这里极其随便，但科学气氛非常浓重。研讨院的传授们的办公室设在Fine Hall（普林斯顿大学的一部门），研讨院和黉舍的各个院系中名流云集，不管在什么时候，这里都许多是数学和物理范畴人材最集合的处所之一。

　　论文[35]17处理了哈尔提出的一个成绩，关于函数类的代表元的拔取，思索有限体系的幂的乘积，和界说在其上的线性流形；假设线性流形上的两个函数在一个零测集之外都相称，则界说它们等价。这个成绩被推行到勒贝格测度之外的测度，一个相似的成绩获得了明白的处理。

　　这些相干事情有些在专题会商会中获得了引见，其内容载于普林斯顿研讨院课本（Princeton Institute Lectures）；有些以手稿的情势保留下来。在与冯·诺伊曼会商这些成绩时，我的印象是，约莫从1938年开端，他以为核物理中的现有成绩与新发明发生了完整差别范例的新成绩，而对峙用数学上白璧无瑕的系统来论述量子实际变得不那末主要了。战役完毕后虫草百科常识大全，他表达了一些相似于爱因斯坦的概念，以为核物理和根本粒子物理的丰硕水平使人猜疑，因而任何成立普通量子场论的测验考试都为时过早，最少当时是如许。（未完待续）

　　关于幻想代数数的普吕弗实际（Priifers theory）的论文[5]4表示了他将来研讨爱好的广度。此文触及汇合论成绩和相对素幻想分支的列举成绩。普吕弗（Heinz Prüfer）将幻想数作为“有限天生的同余干系的幻想解”引入。冯·诺伊曼在这篇文章中所用的手艺，相似于库尔沙克（Kürschak）和鲍尔（Mihály Bauer）关于亨塞尔p-进数（Hensels p-adic numbers）的事情。在这里，他再次展现了将有穷代数上的机关推行到无量范畴（无量可数与持续统情况）这一办法的有用性——这在接下来几十年里的数学研讨中变得十分遍及。另外一个表白他对代数感爱好的迹象是一篇关于闵可夫斯基线性泛函实际的简短正文[39]5。

　　据他的同膏火尔纳（Fellner）说1，约翰尼不同凡响的才能惹起了一名晚期西席拉斯洛·拉兹（László Rátz）的留意。他向约翰尼的父亲暗示，在黉舍按传统的方法教约翰尼数学是毫偶然义的，他该当承受数学公家教导。因而，在库尔沙克（József Kürschak）传授的指点下，由其时仍是布达佩斯大学助教的费柯特（Michael Fekete）停止教导，约翰尼进修了各类数学成绩。

　　恰是在这个期间，他也开端了本人在量子实际方面的代表性事情，即关于量子力学中的丈量和新统计力学的数学根底。他对希尔伯特空间上的算子的深化研讨也能够追溯到这一期间。他的研讨远远超越了物理实际的间接需求，比方他创始了具有自力数学意义的算子环（译者注：即冯·诺伊曼代数）的具体研讨；关于持续多少的研讨也是在这个期间开端的。

　　他的思维仿佛聚集了多种才能，它们即便不是互相冲突的，能够最少是自力的——每种才能都需求壮大的专注力和影象力，以致于少少出如今统一小我私家身上。这些才能是：汇合论方法的，情势上基于代数情势的数学思惟的觉得；对古典数学阐发和多少方面素质内容的熟悉和了解；和对当代数学办法在实际物理现有成绩和新成绩方面的潜伏使用的灵敏感知。一切这统统都能够经由过程他出色的原创性事情获得详细的证实，这些成绩涵盖了今世科学思惟十分普遍的范畴。

　　约翰·冯·诺伊曼（昵称“约翰尼”，在美国众所周知）于1903年12月28日诞生在匈牙利布达佩斯（其时是奥匈帝国的一部门），是家里三个男孩中的老迈。他的家庭很富有；他的父亲马克斯·冯·诺伊曼（Max von Neumann）是一名银里手。约翰尼很小的时分就承受了公家教诲。在1914年，第一次天下大战发作时，他才十岁，进入路德教会中学。

　　他在该主题上的第二篇论文[18]8的题目是“汇合论的正义化”（Die Axiomatisierung der Mengenlehre，这篇论文在1925年的题目是“汇合论的一种正义化”）。

　　在1921年经由过程“matura”测验时（译者注：欧洲很多国度的中学结业测验，并以此获大学退学资历），约翰尼曾经是公认的专业数学家了。他的第一篇论文是与费柯特协作的，完成时还不到18岁。在接下来的四年里，约翰尼注册为布达佩斯大学数学专业门生，但大部合作夫他是在瑞士的苏黎世联邦理工学院和柏林渡过的，并在苏黎世联邦理工学院得到了“化学工程师”（Diplomingenieur in Chemie）的本科学位。

　　此论文的办法许可我们把更普通的群（没必要然是n维的）暗示为这类n维群的有限乘积的子群。在论文的第二部门给出了一个例子：由感化在欧氏空间上的变更组成的一个有限维非紧群，不管怎样改动参数，都不克不及使这些变更成为剖析的。这比希尔伯特第五成绩的完整处理，包罗蒙哥马利（Deane Montgomery）与格里森（Andrew Gleason）在“开”的（即非紧的）n维群情况的事情，要早险些20年。冯·诺伊曼能得到这些成绩，需求同时具有汇合论、实变量手艺的深入常识，对布劳威尔拓扑思惟的直觉，和对积分方程本领和矩阵演算的真正了解。

　　冯·诺伊曼的第一篇论文与费柯特协作，处置某些极小多项式的零点。这是关于切比雪夫多项式根的地位的费耶尔定理的推行，文章完成于1922年，揭晓时冯·诺伊曼还不到18岁。

　　他对持续多少和无点多少（geometries without points）的研讨基于如许一种信心，即量子实际的原始观点与此类工具有关; 明显，“物理的论域”（universe of discourse）则由希尔伯特空间中同等的点组成的多少类或线性流形构成。（狄拉克在他的书中明白指出了这一点。）

　　论文[35]中的成果在一篇与马歇尔·斯通（Marshall Harvey Stone）协作的文章[60]22中获得推行。论文[35]处置了以下成绩：从一个笼统环模去一个给定的双边幻想后，怎样从盈余类当选代替表元。此论文包罗了一系列有关布尔环模去一个幻想后的暗示论的成果。

　　冯·诺伊曼晚期的大部门事情都能表示出他的正义化愿景，从某种意义上说，他的设法比20世纪初逻辑学家最后假想的更情势化、更准确。从1925年到1929年阁下，冯·诺伊曼的大大都论文都试图传布正义化肉体，以至关于物理实际也是云云。他不满意于现有的表述，即便是汇合论自己，他在关于汇合理化的论文[3]6的第一句线：“本领情的目标是对汇合论停止逻辑上无可争议的正义化处置”；下一句话是如许写道：“我起首讲一些正义化的艰难，而这将使本文变得有代价。”

　　令我感应奇异的是，在很多关于汇合论和相干范畴话题的数学会商中，冯·诺伊曼的考虑仿佛也是情势化的。大大都数学家在会商这些范畴的成绩时，脑壳中仿佛都有一个直观的框架——基于多少大概能暗示笼统汇合的图示、箭头之类的。而冯·诺伊曼给人的觉得是，他是经由过程地道的情势归纳顺次第推演来考虑的。我想说的是，他的直觉根底——就像其他更“间接”的直觉（译者注：意义是本能的直觉）——能够发生新的定理和证实，他的这类直觉范例仿佛十分稀有。假如根据庞加莱的说法，把数学家分红两类——视觉直觉和听觉直觉，约翰尼能够属于后者。而在他身上，“听觉直觉”能够十分笼统。更切当地说，这触及情势言语的证实游戏和这些标记的数学注释之间的联络和转化。这二者有点像用代数标记记载的棋盘走法和在脑海中描画实在的棋盘之间的区分。

　　论文[45]18证实了测度论中的一个主要结论：（两个测度空间中的）两个可测汇合类之间随便保测度的布尔映照（Boolean mapping）由一个保测度的点变更天生。这个结论关于证实更普通的完整可分测度空间等价于具有勒贝格测度的欧氏空间十分主要，如许我们就可以把一切可测集组成的布尔代数简化为凡是的勒贝格测度来研讨。

　　冯·诺伊曼给出了汇合论根底的第一个有限正义化，这些正义好像初等多少的正义那样具有简朴的逻辑构造。正义体系的简约性和推理所接纳的情势特性仿佛完成了希尔伯特的目的：将数学作为一个有限的游戏。从这里我们能够看出冯·诺伊曼将来对计较机和证实的“机器化”感爱好的泉源。

　　关于超限序数的论文[2]3曾经展现了冯·诺伊曼用代数处置汇合论的共同方法微风格。文章第一句话就坦白地说：“这项事情的目标是详细而精确地论述康托尔的序数的观点。”正如其叙言所述，康托尔自己此前有些恍惚的表述可被策梅洛正义体系中给出的界说所代替。别的，他还概述了经由过程超限归结停止界说的严厉根底。论文弁言夸大了严厉的情势主义办法，冯·诺伊曼以至有些骄傲地指出，标记….【用于暗示等等（et cetera）】和相似的表达此前从未有过。这类对序数的处置方法——厥后库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）也思索过——是至今引见这一思惟的最好方法，对笼统汇合论中的“机关”十分主要。按照冯·诺伊曼的界说，每一个序数都是一切比其小的序数的汇合，这就使序数的实际变得十分文雅，而且能够免序型（ordertype）的观点，而序型在某种水平上是恍惚的，由于正义汇合论中与某给定序同构的一切序集其实不组成一个汇合（其实不存在）。

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