冯跃峰本节介绍四步解题法中的第三环节：联想相似。所谓联想相似，就是将已感知到的题目的特点与相近的知识联系起来，建立条件、结论、知识、方法间的信息

 

冯跃峰本节介绍四步解题法中的第三环节：联想相似所谓联想相似，就是将已感知到的题目的特点与相近的知识联系起来，建立条件、结论、知识、方法间的信息交往当我们发现了题中的各种差异，认识了事物的本质以后，即可在头脑中形成清晰的课题印象。

此时，应及时地在知识库中寻找与这一印象相似的知识，建立解题方案联想相似主要包括如下两个方面：一是功能联想，即根据发掘的题目的本质要求，联想到具有这一功能的相关数学公式、定理、方法、法则等它是在分析了事物间的矛盾，认识了转化矛盾的“需要”后，联想到其功能与这一需要相吻合的数学工具。

二是结构联想，即根据题目本身特点，及有关数学对象的相互关系与表现形式，在相应的知识库（包括常见的问题解法）中，联想联到与之具有相同结构的相关对象功能联想的结果常常可接通解题思路，发现联系，为转化矛盾提供方法；结构联想常常可以充实问题的条件系统，为解题分析提供依据。

本节介绍功能联想的相关例子我们先看一个非常简单但又很有趣的例子。例1、设

，求证：

。【分析与解】本题选自高中课本中的问题，大多数同学都是选用这样的“计算”方式的解题主线：acos2θ+bsin2θ —→ 1。为了将条件“

”代入当前状态，联想到具有这一功能万能公式，它可以消除当前状态与条件的差异。这样做，虽然也能顺利获解，但计算量大，过程较繁。我们不分割目标，采用这样一种解题主线：

—→ acos2θ+bsin2θ=1。现在发掘两个状态的差异。有些同学采用这样的路线时，只注意到两个状态的函数差异，想到同角关系，便这样在条件中构造目标：由

，得“

”，即asinθ=bcosθ做到这里，不知如何做下去，解题半途而废实际上，我们不仅要发掘两者之间的函数差异，还要发掘两者之间的角度差异，从而想到这样的方式构造相同：正切→正弦、余弦；θ→2θ这样，联想同时

具有这两个功能的公式，发现“不带根号”的半角公式恰好具有这一特点：

。于是，利用上述公式，在条件中构造目标，则非常直截了当。由

，得

去分母，得acos2θ+bsin2θ=1解答一气呵成本例虽然简单，但它却充分说明：只要充分认识到条件与目标之间存在的各种差异，然后联想相关知识，恰到好处地在条件中构造目标，则能顺利地实现目标当然，同时消除多种差异往往是困难的，先消除一种差异，然后消除另一种也是常用的方法。

比如上面的问题，在得到“asinθ=bcosθ”之后，继续消除角度差异，仍可使问题获解从局部突破：为了构造目标中的“bsin2θ”，等式两边乘以2sinθ，得2asin²θ=bsin2θ，再逆向利用“倍角公式”：2sin²θ=1-cos2θ，在条件中。

构造目标中的“cos2θ”，则能顺利实现目标。a（1-cos2θ）=bsin2θ，移项得acos2θ+bsin2θ=1。再看一个解析几何中的简单例子。例2、已知P(x，y)是椭圆

上一动点，

为椭圆的两焦点，求

的最大值。【分析与解】本题的目标为“

≤常数”。这是一个二元最值问题，需要建立关于

的一个约束条件。这自然联想到，椭圆定义恰好具有这一功能：

（常数）。这样一来，只需建立

与常数

的不等关系。容易发现，平均值不等式

恰好具有这一功能。于是，由平均值不等式，有

≤

当

，即P为椭圆短轴的端点时，

。故

最大值为

。例3、设实数x、y、z满足：

，求证：x、y、z成等差数列。【分析与解】本题的目标为：x+z=2y。题中给出了唯一的条件：

，其结构与二次方程根的判别式相似。由此想到，构造一个一元二次方程

，使其系数分别为：a=x-y，b=z-x，c=y-z。显然，其方程为：

依题意，方程①的根的判别式为零，从而它有两个相等实数根。又（x-y）+（z-x）+（y-z）=0，即t=1是方程①的根，于是方程①的两个根

都为1。现在瞄准目标，需要建立方程①的系数x、y、z的等量关系。而已知条件是，方程①的两个根都为1。这就要沟通根与系数之间的联系，韦达定理恰好具有这一功能。于是，由韦达定理，得

去分母，整理即得2y=x+z，证毕。【一点说明】 所有文章免费阅读，谢谢转发、分享。竞赛学生可在微信中关注“跃峰奥数”公众号；高考学生可在今日头条中关注“跃峰数学”头条号，阅读相关文章。

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