前面我撰文介绍了用扩幂开方术手算开平方，今天讲解如何用扩幂开方术手算开立方。到文章后半段再介绍一下目前通行的手算开立方的方法。本文中的例题，一般

 

前面我撰文介绍了用扩幂开方术手算开平方，今天讲解如何用扩幂开方术手算开立方到文章后半段再介绍一下目前通行的手算开立方的方法本文中的例题，一般只取四位有效数字用扩幂开方术开立方（1）如果被开方数可以写成三个很接近的数相乘的形式，那么其立方根约等于这三个数的平均数，即。

如果³√C＝√abc，且b／a≈c／a≈1，那么³√C≈（a＋b＋c）／3由于一般很难将一个数写成三个比较接近的数相乘的形式，这里就不举例说明了后面的方法会一直使用这个原则，后面的例题都可以作为此原则例证。

（2）如果被开方数正好是在一个立方数附近，开立方时可以先将被开方数乘以这个立方数两次，使其成为三个比较接近的数相乘的形式，然后再使用（1）的方法开立方³√（a³＋b）＝³√［（a³＋b）×a³×a³］／a／a。

≈（a³＋b＋a³＋a³）／3／a²＝（3a³＋b）／3a²＝a＋b／3a² 即³√（a³＋b）≈a＋b／3a²这个公式是可以直接使用的，而且可以迭代使用不过不用也行例1.求³√28的近似值解：在28的附近，27是一个完全立方数，所以。

³√28＝（³√28×27×27）／3／3≈（28＋27＋27）／3／9≈82／27≈3.037当然，也可以直接套用上面的公式来算³√28＝³√（3³＋1）≈3＋1／3×3²＝3+1／27≈3.037在精度把控上，为使开方精度能达到四位有效数字，被开方数与其邻近的立方数之间，差距不应大于3％，但在立方根首位数字较小时，差距略大于3%也可以。

例1中28与27的差距大于3%，略小于4%，是可以接受的（3）如果被开方数并不在某个已知的立方数附近，则可以尝试将被开立方数乘以某个立方数，使其到达另一个立方数附近，然后再使用（2）的方法来开立方乘以的那个立方数的方根，即扩幂参数，可以参考下面方法算出。

把被开方数写成a³±b的形式，扩幂参数n＝3a²／b（四舍五入取整）例2.求³√3的近似值解：与被开立方数3比较接近的立方数有1和8，但都距离3比较远（几倍），但我们发现，3乘以7³后是1029，距离10³很接近，所以。

³√3=（³√3×7³）／7＝（³√1029）／7＝（³√1029×1000×1000）／7／10／10≈（1029＋1000+1000）／3／700＝3029／2100＝30.29／21≈1.442例3.求³√10的近似值。

解：³√10＝（³√10×6³）／6＝（³√2160×2197×2197）／6／13／13≈（2160＋2197+2197）／3／1014＝6554／3042≈2.1545使用这种方法，寻找到合适的立方数是关键。

可以用扩幂参数，但扩幂参数未必是最合适的数（4）被开方数要乘以的那个立方数，不仅可以是整数，也可以是分数且看下面的例子例4.求³√55的近似值解：我们注意到55是27的两倍多点，也就是55除以27以后约等于2，2再乘以64以后等于128，与5的立方125比较接近，因此。

³√55＝（³√55／27×64）×3／4≈（³√130.37）×3／4＝（³√130.37×125×125）×3／4／5／5≈（130.37＋125＋125）／3×3／100＝380.37／100＝3.8037

≈3.803最后的7为什么不是入，而是舍？因为采用这种方法算出的立方根，总是比真实值略大，运算过程中130.37与125之间的差距已经超过了4%，已经不能保证四位有效数字的精度，实际的立方根的第五位有效数字，不仅小于7，而且很大概率小于5，所以，第五位有效数字那个7应该舍去，不能上入。

相对来说，大多数时候，扩幂开方术比传统的列竖式开立方要简单些，更具实用价值，尤其是被开方数比较小的时候类巴比伦法开立方手算开平方的方法中，有一种巴比伦法，也被称为牛顿法，这种方法稍加改造，也可以用于开立方。

具体使用方法如下：对于被开立方的数，先找到比它小和比它大且又比较接近的两个立方数，以这两个数的立方根做因数，求出被开立方数的第三个因数，这三个因数的平均值，就是被开立方数的近似立方根一般一次计算的精确度较低，同样方法可以再迭代一次。

三个因数之间最大差距不超过3％时，一般都可以达到四位有效数字的精度例5.求³√100的近似值解：比100小的立方数有64＝4³，比100大的立方数有125＝5³，我们用4和5做因数，令100＝4×5×a。

则a＝100／4／5＝5所以³√100≈（4＋5＋a）／3≈4.67三个因数中最小是4，最大是5，差距达到了20%，所以4.67这个近似值，精度是较差的，下一步可以用4.6和4.7做因数，再算一次100＝4.6×4.7×a

a＝100／4.6／4.7≈4.6253（4.6253＋4.6+4.7）／3≈4.642即³√100≈4.642三个因数中4.6与4.7的差距不到3％，所以计算结果足够达到四位精度例6.手撕³√200，精确到四位有效数字。

解：200／5／6≈6.67（5＋6+6.67）／3≈5.89200／5.8／5.9≈5.8445（5.8445＋5.8+5.9）／3≈5.848∴³√200≈5.848使用这种方法时，选择的两个因数不一定非要不同，有时也可以相同，比如当被开方数非常接近某个立方数时，或者当被开方数的立方根非常接近某个确定的数时。

例7.求³√63的近似值解：63／4／4＝63／16＝3.9375³√63≈（4＋4＋3.9375）／3≈3.979因63非常接近64=4³，所以³√63也必然非常接近4，如果用3做因数，只会增大误差，用两个4做因数，误差比较小。

例8.求³√12的近似值解：12＝2×2×3∴³√12≈（2+2+3）／3≈2.33三个因数中2与3相差已达到50%，所以计算结果误差也较大，且这种算法总是偏大，估计真实立方根应该在2.3附近，下次迭代计算时，两个因数都用2.3。

12／2.3／2.3=12／5.29≈2.2684∴³√12≈（2.2684＋2.3+2.3）／3≈2.289例9.计算³√86（精确到九位有效数字）解：要求的精度虽高，但也只需多迭代一次而已86／4／5＝4.3。

（4＋5＋4.3）／3≈4.4386／4.4／4.4≈4.4421（4.4421＋4.4+4.4）≈4.41486／4.414／4.414≈4.414014887（4.414014887＋4.414＋4.414）／3

≈4.41400496∴³√86≈4.41400496即便九位有效数字的立方根，用这种方法也不难算出来，而如果用传统的长除式来开立方，光用0补位也要补到26位，没三两个小时，恐怕算不出来传统的手算开立方。

目前最常用的手算开立方，是类似开平方那种长除式，要开出四位有效数字，已经算一项巨大工程了，要开八九位有效数字，常人根本没那个耐心完成这里贴出一个开立方法的图解，有兴趣详细了解的，可以自己到网上搜索，这里就不详述了。

图解上仅仅是开出三位有效数字，就已经这么麻烦了，你能设想开八位有效数字是什么场景吗？写在最后本文章是原创首发，未经许可，请勿转载，欢迎转发文中图片源于网络，如涉侵权，请联系删除如果想了解开平方运算，请在头条内搜索“扩幂开方术”。

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