一元三次方程的解法有代数解和数值解。古代数学家解决了求数值解的问题，他们没有得到的是三次方程的代数解(根式解)，即本文要重点介绍的求根公式。三次

 

一元三次方程的解法有代数解和数值解古代数学家解决了求数值解的问题，他们没有得到的是三次方程的代数解(根式解)，即本文要重点介绍的求根公式三次方程和四次方程的求根公式是16世纪意大利数学家的杰出成就，载于卡丹的著作《大术》。

书中的公式相当复杂，考虑到降低学习难度和使用门槛的需求，面向初学者推出下面的极简版求根公式，请看下图：

图一：极简优美版求根公式对上图作一些简要说明方程①是不完全三次方程，缺少了二次项一元三次方程有三个根，对形如方程①的三次方程，三个根如图所示第一个根是实数，第二个根和第三个根可能是实数，也可能是复数二次方程和三次方程的复数根总是成对出现，且是共轭复数。

二次方程和三次方程的实数根分为两类，即有理根和无理根无理根总是成对出现，且是共轭根式举个例子，某个二次方程已知一个根是2+√3，那么另外一个根必然是2-√3；如果有一个虚根-2-√3i，那么另外一个虚根必然是-2+√3i。

图中的α和β是方程②的两根，可能是复数，也可能是实数方程②的变量用字母t表示，是为了避免与方程①的变量x混淆方程②是根据方程①构造出来的二次方程，初中同学能够求解先解方程②，再把两根α和β代入求根公式，即得方程①的三个根了。

求根公式出现了两个复数，它们是方程③的两个虚根方程③可以用立方差公式进行因式分解，把三次方程降次为二次方程，就容易求解了1的立方根有三个，数学家把其中两个虚根称为ω和ω²，根据一元三次方程根与系数的关系，这两个虚根相加等于-1，相乘等于1。

求根公式怎么用呢？我们来看一道著名的例题，16世纪意大利数学家处理过的一个三次方程【例题】解方程x³-15x-4=0审题：方程的形式和图1的方程①一样，可以用公式求解p=-15，q=-4，于是构造形如方程②的二次方程。

-15的三次方等于-3375，而-3375÷27=-125，所以得到二次方程t²-4t+125=0，解方程得到两个虚根为2+11i和2-11i接下来我们求第一个根2+11i的立方根怎么求呢？想到完全立方公式：(a±b)³=a³±3a²b+3ab²±b³。

于是有2+11i=8+12i-6-i=8+12i+6i²+i³=(2+i)³同理可得2-11i=8-12i-6+i=8-12i+6i²-i³=(2-i)³于是得到第一个根是

接下来我们求另外两个根。请看下图：

因为这两个无理根是共轭根式，所以得到第二个根后，可以直接写出第三个根有的同学可能会有疑问，虽然会解类似于方程①的不完全三次方程，但是遇到一般化的三次方程怎么办呢？对于这样的三次方程，我们首先把它的三次项系数化为1，可以既简化问题，同时又不失一般性。

然后用换元法解方程举个例子我在美国著名科普作家阿西莫夫70年代的科普文章中看到一个三次方程：y³-6y²+11y-6=0虽然可以用因式分解法解方程，但是我们用换元法求解方程，解答某些同学的疑问请看下图：。

上图所示的方程(1)是三次方程的一般形式，通过换元法，先确定两个变量x和y的关系，再代入方程(1)，整理化简后可得方程(2)这样就把一个困难的，陌生的问题转化为一个熟悉的问题，方程(2)是缺少二次项的不完全三次方程，我们已经知道怎么解这种类型的方程了。

方程(3)是方程(1)的一个举例，用换元法转化为方程(4)，发现可以用因式分解法解方程，于是得到方程(4)的三个根根据x和y的已知简单关系，代入x就得到y，就得到方程(3)的三个根了换元法背后的原理是关系映射反演方法，又称为RMI原理。

上图所示的方程(3)，未知元素y与已知元素存在原象关系，但是据此求解y有困难于是我们确定y与x存在简单的关系，即y=x+2，把方程(3)的原象关系映射为方程(4)的映象关系因为方程(4)有求根公式，所以顺利得到方程的三个根，再利用y=x+2反演得到方程(3)的三个根。

换元法的灵感来自解二次方程的经验，详情请看下面的链接https://m.toutiao.com/is/iexMXn49/ - 重走前人路：换元法再发现二次方程求根公式 - 今日头条最后补充一些图片说明相关问题。

下图直观展示了(2+i)的平方和立方

AO是2+i，BO是3+4i，CO是2+11i。熟悉复数的同学知道，根据棣莫弗定理，这三个复数的辐角分别是θ和2θ和3θ。下图所示是吴军介绍的求根公式，相当复杂。

下图所示是令人望而生畏的求根公式。

有了一个解，可以把方程降为二次方程，就好解决了。原方程可以变换为：(x-x₁)·fx=0可以用待定系数法，或因式定理，或多项式除法求出fx，剩下的工作就是解二次方程了。

看到上图，老师叹息，学生畏惧。所以老师不教，学生不学。下图所示是吴军推荐的数学软件。

我使用的是手机端APP，名字是wolframalpha，可以解决数学，物理，生物等等各种类型的问题。

点击按钮可以展示详细的解题步骤，供学生学习。科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

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