今天我们来讨论一个有趣的问题，如何手算开根号。相信很多70后80后都学习过传统的手算开根号的方法，类似于列一个除法算式进行试代。今天我们介绍另一

今天我们来讨论一个有趣的问题，如何手算开根号相信很多70后80后都学习过传统的手算开根号的方法，类似于列一个除法算式进行试代今天我们介绍另一种方法，利用迭代法来手算开根号我们以求√11为例来进行说明令x=√11，则

x^2=11x^2-9=11-9=2(x-3)(x+3)=2x-3=2/(x+3)x=3+2/(x+3)=[3(x+3)+2]/(x+3)=(3x+9+2)/(x+3)=(3x+11)/(x+3)x=(3x+11)/(x+3)

x=(3x+11)/(x+3)由此，我们想到构造数列a(n+1)=(3an+11)/(an+3)=3+2/(an+3)容易证明，当数列的初始值a1＞0时，数列{an}存在极限假设lim(an)=a，n→∞。

自然有lim[a(n+1)]=a，n→∞a1＞0时，显然有an＞0所以a＞0a(n+1)=(3an+11)/(an+3)n→∞lim[a(n+1)]=lim[(3an+11)/(an+3)]a=(3a+11)/(a+3)

a(a+3)=3a+11a^2+3a=3a+11a^2=11，a＞0a=√11lim(an)=a=√11，n→∞

也就是说递推数列：a1＞0，a(n+1)=(3an+11)/(an+3)的极限值就是√11注意到3^2=9＜11＜16=4^23＜√11＜4我们不妨取初始值a1=3＞0接下来一直进行迭代a2=(3a1+11)/(a1+3)

=(3×3+11)/(3+3)=20/6=10/3=3.333333…a3=(3×10/3+11)/(10/3+3)=(30+33)/(10+9)=63/19=3.315789…a4=(3×63/19+11)/(63/19+3)

=(189+209)/(63+57)=398/120=199/60=3.316666…a5=(3×199/60+11)/(199/60+3)=(597+660)/(199+180)=1257/379=3.316622…

我们来验证一下通过四次迭代以后的计算精度。

利用计算器算得：√11=3.316624…a5=3.316622…可以看到，四次迭代后，精度已经达到小数点后第五位，这种精度已经足够高了利用这种方法还可以手算出其他根号的估值当然，相比列除法算式进行试代的方法，迭代法显得更复杂一些，但这种迭代的思想很重要，值得大家认真揣摩学习。

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