今天讲个有趣的算法：如何快速求 nmnm，其中 n 和 m 都是整数。为方便起见，此处假设 m >= 0，对于 m < 0 的情况，

 

今天讲个有趣的算法：如何快速求 nmnm，其中 n 和 m 都是整数为方便起见，此处假设 m >= 0，对于 m < 0 的情况，求出 n|m|n|m| 后再取倒数即可另外此处暂不考虑结果越界的情况（超过 int64 范围）。

当然不能用编程语言的内置函数，我们只能用加减乘除来实现n 的 m 次方的数学含义是：m 个 n 相乘：n*n*n...*n，也就是说最简单的方式是执行 m 次乘法直接用乘法实现的问题是性能不高，其时间复杂度是 O(m)，比如 329329 要执行 29 次乘法，而乘法运算是相对比较重的，我们看看能否采用什么方法将时间复杂度降低。

设 m = x + y + z（x、y、z 都是整数），我们知道有如下数学等式： nmnm = nx+y+znx+y+z = nx∗ny∗nznx∗ny∗nz也就是说，如果我们已经知道 nxnx、nyny、nznz 的值，是不是就可以直接用他们相乘得出 nmnm的结果？这样的话乘的次数就大大降低了。

于是问题就变成应该将 m 拆成怎样的几个数的和因为计算机是玩二进制的，我们尝试着将这些数跟 2 扯上联系（以 2 为底），看看会不会有奇迹发生我们看看具体的例子：329329我们将 29 做这样的拆分：29 = 16 + 8 + 4 + 1。

这个拆分有什么特点呢？右边的数都是 2 的 X 次方（24+23+22+2024+23+22+20）我们把上面的拆分带进公式：329=316∗38∗34∗31329=316∗38∗34∗31那我们能不能知道 316316、3838、3434、3131 是什么呢？。

我们不用计算就知道 3131 是什么——但仅此而已不过我们可以用 3131 自乘 4 次的到 3434；然后再用 3434 自乘得到 3838；再通过 3838 自乘得到 316316好像有点感觉了——我们每做一次乘法，就能将结果翻倍（如 3434 自乘就变成 34∗34=3834∗34=38）。

如此，虽然也要多次乘法，但乘的次数从 29 次降到 9 次！然后我们再回头看看上面的拆分：29 = 16 + 8 + 4 + 1 = 24+23+22+2024+23+22+20 = 1∗24+1∗23+1∗22+0∗21+1∗201∗24+1∗23+1∗22+0∗21+1∗20 。

这不就是学校学的二进制转十进制吗（29 的二进制是 11101）？329=316∗38∗34∗31329=316∗38∗34∗31 是说：取 29 的二进制表示中所有值是 1 的位，算出它们的指数值并相乘就得到最终的值。

我们用 go 语言实现一下：// 求 a 的 n 次方// a、n 是非负整数funcPow(a,n int64)int64 { // 0 的任何次方都是 0if a == 0 { return0

} // 任何数的 0 次方都是 1if n == 0 { return1 } // 1 次方是它自身if n == 1 { return a } // 用滚雪球的方式计算幂

// 雪球初始值是 1var result int64 = 1// 滚动因子初始化为 a 的 1 次方（a 自身） factor := a // 循环处理直到 n 变成 0（所有的二进制位都处理完了）

for n != 0 { // 跟 1 做与运算，判断当前要处理的位是不是 1// 之所以是直接跟 1 做与运算，因为后面每处理一轮都将 n 右移了一位，保证每次要处理的位都在最低位if n & 1

!= 0 { // 当前位是 1，需要乘进去 result *= factor } // 每轮结束时将滚动因子自乘// 因为每行进一轮，指数都翻倍，整体结果就是自乘// 比如本轮因子是 2**4，下一轮就是 2**8

// 2**8 = 2**(4+4) = 2**4 * 2**4// （** 表示指数） factor *= factor // n 右移一位，将下一轮要处理的位放在最低位 n = n >>

1 } return result } 有什么用呢？很多语言内置的 pow 函数都只接受浮点数，浮点数的运算是非常重的，如果我们的程序需要频繁计算整数的幂，就可以采用 quick pow 算法代替语言内置的幂函数以提升性能。

我们对 go 语言内置的 math.Pow 和 quick pow 算法做个性能测试对比一下// 测试 3 的 29 次方的性能测试var benchPowB int64 = 3var benchPowP 。

int64 = 29// 上面的 quick pow 算法funcBenchmarkQuickPow(b *testing.B) { for i := 0; i < b.N; i++ { algo.Pow(benchPowB, benchPowP) } }

// go 语言 math 包的 Pow 方法，只接受 float64 类型funcBenchmarkInnerPow(b *testing.B) { x := float64(benchPowB) y :=

float64(benchPowP) for i := 0; i < b.N; i++ { math.Pow(x, y) } } // 用简单乘法实现（3 自乘 29 次）funcBenchmarkSimpleMulti

(b *testing.B) { for i := 0; i < b.N; i++ { var r int64 = 1var j int64 = 0for ; j < benchPowP; j++ { r *= benchPowB } } }

测试结果：goos:darwingoarch:amd64cpu:Intel(R)Core(TM)i7-7700HQCPU@2.80GHzBenchmarkQuickPow-83578977163.373

ns/opBenchmarkInnerPow-83916249229.30ns/opBenchmarkSimpleMulti-81210667319.549ns/opPASSokcommand-line-arguments

4.894s从性能测试结果看，quick pow 算法比简单乘法快了好几倍，比 math.pow 快了近 10 倍所以，如果程序只需要求整数幂，而且能确保计算结果不会越界时，可以考虑使用 quick pow 算法代替语言内置的浮点函数。

文章来自https://www.cnblogs.com/linvanda/p/16425351.html

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