三角函数正弦函数的定义百度百科：定义一：正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（

 

三角函数正弦函数的定义百度百科：定义一：正弦（sine），数学术语，在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA（由英语sine一词简写得来），即sinA=∠A的对边/斜边。

突然发现，这个定义是有问题的。这个定义非常直观，适合入门，但问题是只能将角的取值范围定义为0°到90°之间，而且不包括0°和90°。这个定义不支持自变量的取值范围：

。

另一个高级的定义：在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（u，v），那么点P的纵坐标v叫做角α的正弦函数，记作v=sinα。

这个定义就没有上述限制了。三角函数对照表以前是没有计算器或其他任何电子计算工具，当时人们是计算三角函数值时，常常采用三角函数对照表。

三角函数对照表但三角函数对照表是近似值，在一些计算精度要求很高的场景，可能并不能满足要求三角函数的解析值含义以正弦函数值求法为例，因为求得正弦函数值，就不难求出其他三角函数的解析值这里的解析值是指精确解（如。

），而非近似解（如1.41421356237）从下文可以看出，1°到90°的三角函数（如正弦函数值）都有解析解，都可以通过正整数的加减乘除、开根号（二次根号、三次根号等）、负号等构成的表达式表示，是精确值，而非三角函数表中的近似值。

求出1°～90°角的三角函数值，再根据三角函数的诱导公式，就不难求出91°-360°角的三角函数解析值了。

0°-90°的三角函数解析值求法根据正弦函数的定义，不难得到：

道生无，无即0。“道”（Tao）即前面的关于正弦函数的定义。我们就从0出发给出所有1°到89°的正弦函数的解析值（注意是精确的解析值，而非小数的近似值）的求法。∵

,所以∴

根据正弦函数半角公式，得出：

根据正弦函数的三倍角公式得到：

，也即

，这个是

的一元三次方程。解该方程，得到：

，进而得到

。

15°角的三角函数值的几何求法：

。

也可以根据三倍角公式求得：

是一元三次方程

该方程有

。根据正弦函数的三倍角公式得到：

，也即

，这个是

的一元三次方程。根据一元三次方程的求根公式

解该方程，得到：

（舍弃了另外俩不合理的无效根），这是一个用复数表示的实数，其值为

。

形式上之所以是一个复数，是因为采用了一元三次方程的通用求根公式（后面情况类似）。

。

也可以根据三倍角公式求得：

是一元三次方程

的一个根

求得

。

=

下面求18°角的三角函数值：1）几何方法：做如下等腰三角形

，并做辅助线

和

，

为

的角平分线，

。

设

、

。不难得到

。故

，即

，解得

；或者因

为

的角平分线，故根据角平分线定理可得

，也即

，同样可以解得

。进而得到

。从而，

。2）代数方法：

（两倍角公式），且

是方程

的一个根。而该方程有三个跟：

（舍去）、

（舍去）和

。

（三倍角公式）

是一元三次方程

的一个实根。该一元三次方程一定有三个解析解：

验算一下，将

代入，得到

不难排除

、

两个解，而

是合理解，即

也即

其中

如果有强迫症，可以写出

的最终表达式：

注：

虽然是复数表达式，但代入

后，计算出来的值却是一个实数。道家：无生有！只要算出了

的值，其他任何整数度数的三角函数就迎刃而解了。正所谓“有生万物”！

（一生二）

，带入

的值，得到

，这个值与

的值

存在神秘的关联！！！

，带入

和

，计算得到：

，带入

、

、

和

，计算得到：

，这个值与

的值

有密切的关系。

，带入相关值，得到：

，这个值形式上与

和

神秘关联。

，带入上述已经求出来的相关值，得到

，带入前面的计算结果，得到：

，这个值与形式上与

、

和

神秘关联。

，带入

、

的值，求得：

类似的当

，因为前面已经求出了

，故：

；当

时，

；当

时，

;当

时，

；当

时，令

%

，再迭代使用上面公式；当

时，

。进而可以计算出任意整数角度的正弦函数值（都可以表达为一个精准解析值）。同时，通过上述计算，我们实际上已经证明了一个结论：当

为整数时，

函数值是一个代数数结论1°、2°、3°、4°、5°、6°、7°、8°、9°、10°、11°、12°、13°、14°、15°、16°、17°、18°、19°、20°、21°、22°、23°、24°、25°、26°、27°、28°、29°、30°、。

31°、32°、33°、34°、35°、36°、37°、38°、39°、40°、41°、42°、43°、44°、45°的正弦函数值都是有精确解

，在此基础上可以计算出他们的余弦函数值

，再根据三角函数的诱导公式，计算出46°-90°的正弦函数，进而求出其他任意整数度数的三角函数精确值表达求得精确值后，在实际工程应用中，可以根据具体场景需要，计算到任意精度当然，人类的计算手段越来越丰富，实际工程中，多半会采用三角函数的泰勒级数展开，如。

正弦函数的连分数表示：

这两个公式中的自变量

是弧度，而非度数。如果是弧度，级数展开公式变为：

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